☛ Système à trois inconnues : combinaison

Énoncé
Résoudre le système \((\text S) : \begin{cases} 2x-y+3z=7\\ x+y+z=5\\ 3x+2y-z= 1\\ \end{cases}\) en utilisant la méthode par combinaison.

Solution

1. On choisit une équation que l'on va combiner avec les deux autres, pour supprimer une inconnue dans ces dernières.
Par exemple, on choisit l'équation 1. En ajoutant, membre à membre, l'équation 1 à l'équation 2, on obtient \(3x+4z=12\).
De même, en ajoutant, membre à membre, deux fois l'équation 1 à l'équation 3, on obtient \(7x+5z=15\).

2. On combine les deux équations que l'on n'avait pas choisies à la première étape pour supprimer une nouvelle inconnue.
Par exemple en multipliant par \(\color{purple} 3\) l'équation 3 et en lui retirant \(\color{orange} 7\) fois l'équation 2, on obtient :
\(\color{purple}{3} \times (7x+5z) - \color{orange}{7} \times (3x+4z) = \color{purple}{3} \times 15 - \color{orange}{7} \times 12\) soit \(-13z = -39\).

3. On résout l'équation où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
L'équation 3 permet de trouver \(\color{blue}{\boxed{z=3}}\).

4. On remplace dans les autres équations l'inconnue par sa valeur.
L'équation 1 s'écrit alors \(2x - y + 3 \times 3 = 7\) soit \(2x - y = -2\).
L'équation 2 s'écrit alors \(3x + 4 \times 3 = 12\) soit \(\color{green}{\boxed{x=0}}\).

5. Dans la dernière équation non résolue, on remplace la deuxième inconnue dont on a trouvé la valeur. L'équation 1 s'écrit alors \(2 \times 0 - y=-2\) soit \(\color{red}{\boxed{y=2}}\).

6. On vérifie que le triplet \((\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3})\) est bien solution du système en remplaçant \(\color{green}x\), \(\color{red}y\) et \(\color{blue}z\) respectivement par \(\color{green} 0\), \(\color{red} 2\) et \(\color{blue} 3\) dans les trois équations initiales et en constatant que les trois égalités sont vraies.

• La première équation donne \(\color{green}{0} + \color{red}{2} + \color{blue}{3} = 5\) : la première équation est vérifiée \(\checkmark\).
  
• La deuxième équation donne \(2 \times \color{green}{0}-\color{red}{2}+3 \times \color{blue}{3}=7\) : la deuxième équation est vérifiée \(\checkmark\).
  
• La troisième équation donne \(3 \times \color{green}{0}+2 \times \color{red}{2}-\color{blue}{3}= 1\) : la troisième équation est vérifiée \(\checkmark\).
  

7. Conclusion : l'ensemble des solutions du système \((\text S)\) est \(\mathscr{S} = \left\lbrace (\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3}) \right\rbrace\).